2^20 を計算するページ

【オープニング】すべては2の2000乗から始まった

ある日、友達が言ってきた。
「あのさ。2の2000乗っていくつなの？」
「さぁ。2の10乗なら1024だって覚えてるけど、2000乗は知らないな」
「計算してみないか？」
「電卓に任せればいいんじゃないか」
「ケタがヤヴァくて電卓の画面に入りきらないんだよ」

この会話が展開されたのは、ぼくが中学校２年生のときである。
さっそくぼくは、学校で配布された手紙が詰め込んであるファイルを取り出し、
その中から１枚、不要と思われるプリントを出した。
真っ白な裏面に、計算を始めたのだ。

2^2000 ＝2×2×2×2×2×2×2×…

しかし、式の最初から順番に「ここまでで4、ここで8、16、32、…」と計算するのは、
さすがに気が遠くなる。そこで、ぼくらは賢く計算することにした。

2^2000 ＝ 4^1000 ＝ 16^500 ＝ 256^250 ＝ 65536^125 ＝

ところがここまで来て、行き詰ってしまった。
125を半分にすることができないからである。
そして、まだ指数が125もあるのに、すでに65536という大きな数になってしまい、
嫌な予感を感じ始めた。

…そして友達に、ぼくは言った。
「無理だ。諦めよう」
しかし友達はなかなか心を曲げようとしない。
「いや、2^2000の正体を知りたいんだよ」
なんでそこまでして知りたいのか意味が分からん。
そのときチャイムが鳴り、休み時間終了。この話題はこれで消えたかのようだった。


【プロローグ】2の2000乗の大きさが見えた日

その後ぼくは中学校を卒業し、高校へと進学した。
そして高校３年生の、ある日の数学の授業のことだった。
その日の授業では、高校１年で習った"常用対数"を復習していた。
この常用対数を使うと、大きな数の桁数を調べられる、というものだった。
そのとき、中学校でのあの会話を思い出した。
「高校で習った常用対数を使えば、中学時代の疑問が解けるかも」

2^2000 ＝ P とおく。両辺の常用対数を取ると、
log[10,2^2000] ＝ log[10,P]
2000log[10,2] ＝ log[10,P]
ここで、log[10,2] ≒ 0.3010 より、
2000×0.3010 ≒ 602 ≒ log[10,P]
ここで、602 ＝ log[10,10^602]だから、
P ≒ 10^602

そうか！結局2の2000乗は、603桁の数なんだっ！
…っておい！デカすぎ！
３０行あるノートに、１行につき２０個書かなくてはならんとは…。
603桁にもなる数を、あの頃のぼくは計算しようとしていたのか…？ｗ

603桁を求める気にはならないが、このまま終わるのもやだなぁ…。
じゃぁ代わりに、2^2000ではなく、2^20でも求めてみるか。

そして今に至る。

【第一章】指数法則で攻撃

そんなわけで、まずは普通に指数法則を使い、2^20を求めてみた。

2^20 ＝ 4^10 ＝ 16^5

以前はここで詰まった。5はこれ以上半分にできないからだ。
でも、今のぼくは高校生。ちょっと考えれば、さらに細分化できるはずだ。

16^5 ＝ 16^(2+2+1) ＝ (16^2)*(16^2)*(16^1) ＝ 256*256*16 ＝ 1048576

『256×256×16』がとっても面倒だったが、無事計算できた。
2の20乗は1048576だ。
無事求まったけど、『256×256×16』はかったるい。他により良い計算方法はないだろうか。

【第二章】等比数列で攻撃

2^20は、2を20回かけたものだから、
2^1 , 2^2 , 2^3 , …　と数字を並べていくと、20番目に2^20が来るはずだ。

等比数列｛an｝＝ 2^n を考えると、
｛a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , … , a20 , … , an｝
＝｛2^1 , 2^2 , 2^3 , 2^4 , 2^5 , … , 2^20 , … , 2^n｝
よって、初項が２、公比が２の等比数列の、第20項を求めればよい。
等比数列の公式 an ＝ a*r^(n-1) より、 a20 ＝ 2*2^(20-1) ＝ 2^20

なんと。2^20を求めようと思って等比数列を書いてみたら、
再び2^20に戻ってきてしまった。
残念ながら、等比数列での攻撃はミスに終わった…。とほほ。

【第三章】積分法と面積で攻撃

１辺の長さがＰの正方形の面積は、Ｐ×Ｐ＝Ｐ^2だ。
これは誰でも知っている。
ということは、１辺の長さが2^10＝1024の正方形の面積は、2^20になるはず！

そこで、ドデカい正方形を思い浮かべて、
その正方形の左下のカドを、座標平面上の原点(0,0)に置く。
するとこの正方形の上側の辺の直線は、傾き０、切片1024だから、y=1024 のグラフだ。
そして正方形の右側の辺は、x=1024のところに、垂直につっ立っている。
つまり、区間 0≦x≦1024 における、y=1024のグラフとx軸の間にはさまれた面積というわけ！

区間 0≦x≦1024 での、y=1024のグラフとx軸の間にはさまれた面積Ｓは、
　　　　　1024　　　　　　　　　　　1024
Ｓ ＝ ∫1024 dx ＝ [ 1024x ]　＝ 1024×1024
　　　　　0　　　　　　　　　　　　　0

うわ、マジで！？
イメージした正方形を、わざわざ座標平面において、積分までしたのに、
最後は1024×1024に戻ってきてしまったではないかっ！
積分攻撃もミスだったか…。

【第四章】三角関数と面積で攻撃

同じ面積を使った攻撃だが、今度は積分ではなく三角関数だ。
でも、当たり前の話だが、三角関数は三角関数にしか使えない。
そこで、さきほどの正方形をナナメに切り、直角二等辺三角形２つに分けてみた！

直角二等辺三角形ＡＢＣを考える。（辺ＡＣが斜辺）
ＡＢ＝1024 だから、ＡＣ＝1024×√2
面積の公式 Ｓ＝(ＡＢ･ＡＣ･sinＡ)/2 より、
Ｓ＝（1024×1024√2×sin45°）/2　　ここで、sin45°＝1/√2 より、
　＝（1024^2）/2
この三角形の面積を２倍して正方形の面積を求めると、
{(1024^2)/2}*2 ＝ 1024^2

さて、結局1024^2に戻ってきましたorz
ダメじゃん！他に何か方法はないのか！？

【第五章】シグマ()で攻撃

たぶん無駄かとは思うが、次はシグマｗ
さっきの数列｛2^1 , 2^2 , 2^3 , 2^4 , 2^5 , … , 2^20 , … , 2^n｝で、
『a1からa20を足したもの』から『a1からa19を足したもの』を引いてみようかとｗ
この計算をすれば、a20だけが残るもんね。

数列｛2^n｝の、第１項から第20項までの和Sは、
　　　　20
Ｓ ＝ 2^n ＝ {2(2^20-1)}/(2-1) ＝ 2(2^20-1)
　　　　n=1
同様に、第１項から第19項までの和Sは、
　　　　19
Ｓ ＝ 2^n ＝ {2(2^19-1)}/(2-1) ＝ 2(2^19-1)
　　　　n=1
したがって、
a20 ＝ 2(2^20-1)-2(2^19-1) ＝ 2(2^20-1-2^19+1)
＝ 2^21-2^20 ＝ 2^20(2-1) ＝ 2^20

なんか途中で2^19とか出てきて、面白い展開かと思いきや、
最後の１行で因数分解したら、2^20に逆戻り Σ(･д･lll)ガーン
もうだめだ、他の手段が思いつかぬ…。最終兵器を使うとしよう…。

【最終章】Excelで攻撃

こうなったら切り札、WindowsOfficeに頼るしかあるまいｗ


緊張の一瞬！そして…



ｷﾀ━━━━（ﾟ∀ﾟ）━━━━!!
やはりコンピュータの力は素晴らしいものだなｗｗｗ

【番外編】Ｃ言語で攻撃

Excelに任せて求めても、なんか計算した気がしないので、
Ｃ言語でやってみました。



こんな感じにしてみました。
あらかじめ 1 が格納されている変数 ans に２をかける、という作業を、
for文を使って20回繰り返します。

で、実行してみた結果がこれ↓



なんというか、おめでとうございますですなｗｗｗ

【エンディング】結果集計

さまざまな方法で、2の20乗を求めようと試みたが、
ここいらで結果をまとめてみると…。

攻撃方法結果評価
指数法則256×256×16 が面倒！△
等比数列2^20に戻ってきた！×
積分と面積1024×1024に戻ってきた！×
三角関数1024×1024に戻ってきた！×
シグマ2^20に戻ってきた！×
Excel人工頭脳のパワーを思い知れ！◎
Ｃ言語ほどよく成功！○

高校数学のさまざまな手法は、どれも役立たずというオチ…。
面倒な計算はコンピュータにまかせろ、という結論でよろしいか？＞読者の皆さん
なんかすいません…。

【おまけ】Excelが2^2000に挑戦

みんなのヒーロー "Windows Excel" が、
2の2000乗にチャレンジ！すると！？
…うおおおおおお！！これは〜〜!!!!!!なんということだっ！！！
ぜひ皆さんも試してみてくださいねっ！


…今度はＣ言語で2の2000乗をやってみようかな。結果は目に見えてるけどな…ｗ



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